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Em um país, todos os produtos comercializados estão associados a uma única sequência numérica de 13 dígitos, e cada sequência numérica pode ser representada por um código de barras. Essas sequências são formadas de acordo com as seguintes regras:
• os três primeiros dígitos são associados ao país que comercializa o produto. Esses dígitos são 7, 8 e 9 (nessa ordem);
• dígitos nas posições quatro a nove identificam a empresa que comercializa o produto. Eles assumem os valores 4, 5, 6 ou 7;
• dígitos nas posições dez a doze identificam o produto. Eles podem ser qualquer algarismo de 0 a 9.
O último dígito, chamado de dígito verificador, é consequência dos doze primeiros, sendo obtido por meio de operações,
previamente definidas, realizadas com os doze primeiros. Quantos diferentes códigos de barras podem estar associados a produtos comercializados nesse país?
A 4⁶ × 9³
B 4⁶ × 10³
C 10⁶ × 10³
D 3! × 4⁶ × 10³
E (6 × 4) × (10 × 3)
Gabarito oficial
B
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Princípio multiplicativo: contar apenas as posições com liberdade de escolha.
Resolução passo a passo
- Separe as posições por grau de liberdade. As três primeiras são fixas em 7, 8, 9 — há uma única possibilidade, e a ordem está determinada.
- Posições 4 a 9: são 6 posições, cada uma com 4 opções (4, 5, 6 ou 7). Isso dá 4⁶ combinações.
- Posições 10 a 12: são 3 posições, cada uma com 10 opções (0 a 9), ou seja, 10³.
- A 13ª posição é consequência das anteriores: não acrescenta nenhuma escolha. O total é 4⁶ × 10³ — alternativa B.
Alternativa por alternativa
- A
4⁶ × 9³
Errada. O expoente das posições 4 a 9 está certo, mas 9³ suporia que as posições 10 a 12 aceitassem apenas nove algarismos. O enunciado diz “qualquer algarismo de 0 a 9”, que são dez.
- B
4⁶ × 10³
Correta. As três primeiras posições são fixas, as posições 4 a 9 têm 4 opções cada (4⁶) e as posições 10 a 12 têm 10 opções cada (10³). O dígito verificador é determinado pelos demais e não multiplica nada.
- C
10⁶ × 10³
Errada. 10⁶ daria dez opções para as posições 4 a 9, mas elas aceitam somente 4, 5, 6 ou 7 — quatro valores.
- D
3! × 4⁶ × 10³
Errada. O fator 3! suporia que os dígitos 7, 8 e 9 pudessem ser embaralhados. O enunciado é explícito: eles aparecem nessa ordem.
- E
(6 × 4) × (10 × 3)
Errada. Essa expressão multiplica número de posições por número de opções, em vez de elevar. O princípio multiplicativo exige potências: 4 elevado a 6 e 10 elevado a 3.