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Paulo esqueceu a senha de acesso à sua conta bancária. Ele se lembra apenas de que sua senha é uma das possíveis permutações da palavra DETETIVE que se iniciam pela letra D. O sistema do banco permite que ele faça até quatro tentativas antes de bloquear o acesso, e Paulo não digitará uma mesma combinação de letras duas vezes. A probabilidade de Paulo acessar sua conta, sem bloqueá-la, é
A 1/105
B 1/420
C 1/840
D 1/1 260
E 1/10 080
Gabarito oficial
A
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Permutação com repetição e probabilidade: contar o espaço amostral e somar tentativas.
Resolução passo a passo
- Conte as letras de DETETIVE: são 8 ao todo — D, E, T, E, T, I, V, E. Repetem-se o E três vezes e o T duas vezes.
- Fixe o D na primeira posição, como manda o enunciado. Sobram 7 letras para permutar: E, T, E, T, I, V, E — ainda com três E e dois T.
- Use a permutação com repetição: 7! ÷ (3! × 2!) = 5 040 ÷ 12 = 420 senhas possíveis.
- Paulo faz até 4 tentativas sem repetir, portanto são 4 chances distintas entre 420: P = 4/420 = 1/105 — alternativa A.
Alternativa por alternativa
- A
1/105
Correta. Fixando o D, restam 7 letras com três E e dois T, o que dá 7!/(3!·2!) = 420 senhas possíveis. Com quatro tentativas distintas, a probabilidade é 4/420 = 1/105.
- B
1/420
Errada. 1/420 é a probabilidade de acertar em uma única tentativa. O enunciado garante quatro, e é preciso multiplicar por 4.
- C
1/840
Errada. 1/840 seria o caso de 840 senhas possíveis, valor que sairia de dividir 7! só por 3! ou só por 2! — esquecendo uma das repetições.
- D
1/1 260
Errada. 1 260 = 7!/(2!·2!) e ignora que o E aparece três vezes, e não duas.
- E
1/10 080
Errada. 10 080 é 8!/(2!·2!), ou seja, conta também a posição do D e trata mal as repetições. O D está fixo na primeira posição.