Ler o enunciado em texto
A produtividade P de um tipo de semente depende da quantidade Q de fertilizante aplicada, ambas em quilograma por hectare. Foram realizados quatro experimentos em pequenas regiões, onde foi possível medir a produção para diferentes valores de Q para aquele tipo de solo, obtendo-se os seguintes resultados:
• região 1: Q = 0 kg/ha resultou P = 1 000 kg/ha; • região 2: Q = 100 kg/ha resultou P = 6 000 kg/ha; • região 3: Q = 200 kg/ha resultou P = 9 000 kg/ha; • região 4: Q = 500 kg/ha resultou P = 6 000 kg/ha.
A produtividade P é modelada por uma função quadrática na variável Q. O objetivo desses experimentos é obter a dosagem ideal de fertilizante que torne a produção máxima. Qual deve ser a dosagem de fertilizante a ser aplicada, em quilograma por hectare, para que a produção seja máxima?
A 200
B 250
C 300
D 350
E 500
Gabarito oficial
C
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Função quadrática: determinar os coeficientes a partir de pontos e achar a abscissa do vértice.
Resolução passo a passo
- Escreva a forma geral: P = aQ² + bQ + c. O ponto (0; 1 000) entrega logo o termo independente: c = 1 000.
- Use (100; 6 000): 10 000a + 100b + 1 000 = 6 000, que simplifica para 100a + b = 50. Use (200; 9 000): 40 000a + 200b + 1 000 = 9 000, que simplifica para 200a + b = 40.
- Subtraia a primeira da segunda: 100a = −10, logo a = −0,1. Substituindo, b = 60. (A parábola tem concavidade para baixo, como esperado: há um ponto de máximo.)
- A produção máxima está no vértice: Q = −b/(2a) = −60 ÷ (2 × (−0,1)) = 300 kg/ha — alternativa C. (O ponto (500; 6 000) confirma o modelo: −0,1 × 250 000 + 60 × 500 + 1 000 = 6 000.)
Alternativa por alternativa
- A
200
Errada. Q = 200 é apenas o maior valor medido entre os experimentos com produção crescente. O máximo da parábola está adiante, em Q = 300.
- B
250
Errada. 250 seria o ponto médio entre 0 e 500, mas o vértice de uma parábola não é o ponto médio de dois valores quaisquer do domínio — e sim de dois pontos de mesma imagem.
- C
300
Correta. Com c = 1 000, a = −0,1 e b = 60, o vértice fica em Q = −b/2a = 300 kg/ha. Um atalho: as regiões 2 e 4 têm a mesma produção (6 000), logo o vértice está no meio de 100 e 500, ou seja, em 300.
- D
350
Errada. 350 não corresponde ao vértice nem a nenhum dos pontos medidos.
- E
500
Errada. Em Q = 500 a produção já caiu para 6 000 kg/ha, o mesmo valor de Q = 100. Fertilizante em excesso reduz a produtividade — é justamente o que a concavidade para baixo mostra.