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Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos. De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
A 36
B 53
C 300
D 360
E 560
Gabarito oficial
C
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Análise combinatória com restrição: tratar primeiro a condição que restringe e depois distribuir o restante.
Resolução passo a passo
- Comece pela restrição, que é sempre o caminho mais seguro. O filho mais velho recebe a bicicleta ou o celular, mas não os dois: são 2 escolhas possíveis.
- Complete os presentes do mais velho. Ele fica com 3 no total, então faltam 2, escolhidos entre os 6 presentes comuns (os 8 menos a bicicleta e o celular): C(6,2) = 15 maneiras.
- Distribua o que sobra. Restam 5 presentes, e o filho mais novo leva 3 deles: C(5,3) = 10 maneiras. Os 2 que sobram vão automaticamente para o filho do meio — 1 maneira.
- Multiplique tudo: 2 × 15 × 10 × 1 = 300 distribuições distintas — alternativa C.
Alternativa por alternativa
- A
36
Errada. 36 é pequeno demais: só a escolha dos dois presentes comuns do filho mais velho já oferece 15 possibilidades, que ainda se combinam com as demais etapas.
- B
53
Errada. 53 não vem de nenhum produto de combinações do problema — parece resultado de somar etapas em vez de multiplicá-las.
- C
300
Correta. São 2 formas de dar bicicleta ou celular ao mais velho, 15 de completar seus presentes e 10 de escolher os do mais novo: 2 × 15 × 10 = 300.
- D
360
Errada. 360 resultaria de contar 12 possibilidades em alguma etapa, ou de ignorar que a bicicleta e o celular não podem ir juntos para o mais velho.
- E
560
Errada. 560 é o número de maneiras de escolher 3 presentes entre 8 para o mais velho e 3 entre 5 para o mais novo (C(8,3) × C(5,3) = 56 × 10), sem aplicar a restrição da bicicleta e do celular.