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Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.
O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.
Considere 3 como aproximação para p e desconsidere as espessuras das muretas. O projeto a ser aprovado é
A o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m2.
B o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m2.
C o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m2.
D o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m2.
E qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Gabarito oficial
A
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Área do semicírculo: comparar duas configurações e perceber o efeito de o raio entrar ao quadrado.
Resolução passo a passo
- Calcule o Projeto 1. Os diâmetros são 12 m e 6 m, logo os raios são 6 m e 3 m. Somando as duas metades de círculo: (3 × 6²)/2 + (3 × 3²)/2 = 54 + 13,5 = 67,5 m².
- Calcule o Projeto 2. As faixas medem 3 + 6 + 6 + 3 = 18 m de largura total, logo o raio é 9 m.
- A área fica (3 × 9²)/2 = 243/2 = 121,5 m² — quase o dobro do Projeto 1, mesmo acomodando as mesmas quatro faixas.
- A razão é que a área cresce com o quadrado do raio: juntar tudo em um túnel só aumenta muito o material escavado. Aprova-se o Projeto 1, com 67,5 m² — alternativa A.
Alternativa por alternativa
- A
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m2.
Correta. Os dois semicírculos do Projeto 1 somam 54 + 13,5 = 67,5 m², contra 121,5 m² do túnel único. Menor área de seção significa menos material retirado da montanha.
- B
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m2.
Errada. O valor de 121,5 m² está certo para o Projeto 2, mas ele é quase o dobro do Projeto 1 — logo, não é o aprovado.
- C
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m2.
Errada. 135 m² corresponde a calcular os semicírculos do Projeto 1 como círculos inteiros, esquecendo de dividir por 2.
- D
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m2.
Errada. 243 m² é a área do círculo completo de raio 9 m. O túnel é um semicírculo, então o valor precisa ser dividido por 2.
- E
qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Errada. As áreas não são iguais: 67,5 m² contra 121,5 m². O erro está em supor que dividir o vão em dois túneis preserva a área, quando ela depende do quadrado do raio.