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Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.
O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante. O maior valor a ser escolhido para K é
A 10^0,5
B 10^8
C 10^2,5 / 84
D 10^2,5 / 99
E 25 × 10^-2
Gabarito oficial
A
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Logaritmos e função do 2º grau: impor a restrição no ponto de pressão máxima dentro do intervalo de uso.
Resolução passo a passo
- Traduza a restrição. De 4·log(X) ≤ 10 vem log X ≤ 2,5 e, portanto, X ≤ 102,5, em que X = −K(t+1)(t−19) = K(t+1)(19−t).
- A pressão é máxima quando (t+1)(19−t) é máxima. Essa é uma parábola com a concavidade para baixo, cujas raízes são −1 e 19; o vértice fica no ponto médio, t = 9.
- Como as máquinas funcionam de 0 a 10 horas, t = 9 está dentro do intervalo. O valor máximo é (9+1)(19−9) = 10 × 10 = 100.
- Imponha a condição no pior caso: 100K ≤ 102,5, ou seja, K ≤ 102,5/10² = 100,5. O maior valor possível é 100,5 — alternativa A.
Alternativa por alternativa
- A
10^0,5
Correta. A pressão é máxima em t = 9, quando (t+1)(19−t) = 100. De 100K ≤ 10^2,5 vem K ≤ 10^2,5 ÷ 10² = 10^0,5.
- B
10^8
Errada. 10⁸ é um valor enorme, que faria a pressão ultrapassar o limite logo nas primeiras horas de funcionamento.
- C
10^2,5 / 84
Errada. 10^2,5/84 usa t = 5, onde (t+1)(19−t) = 84. Mas esse não é o ponto de pressão máxima, e a máquina estouraria o limite em t = 9.
- D
10^2,5 / 99
Errada. 10^2,5/99 corresponde a t = 8, onde o produto vale 99 — de novo um ponto próximo do máximo, mas não o máximo. Em t = 9 a pressão passaria de 10 atm.
- E
25 × 10^-2
Errada. 25 × 10⁻² = 0,25 é muito menor que 10^0,5 ≈ 3,16. Atenderia à recomendação, mas a questão pede o maior valor possível de K.