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Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria. Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
A 10 × 9 × 8
B 20 × 18 × 16
C 20 × 19 × 18
D 10 × 9 × 8 × 2
E 20 × 18 × 16 × 2
Gabarito oficial
B
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Análise combinatória: contar arranjos com restrição, atualizando o número de opções a cada escolha.
Resolução passo a passo
- Note que os cargos são distintos: trocar presidente por secretário gera outra diretoria. Trata-se, portanto, de contar arranjos, e a ordem importa.
- Escolha o presidente: são 10 casais, ou seja, 20 pessoas disponíveis.
- Escolha o secretário. Sai da lista quem já foi escolhido e também o cônjuge dele, por causa da restrição. Restam 18 pessoas.
- Escolha o tesoureiro: saem mais duas pessoas (o segundo escolhido e seu cônjuge), restando 16. O total é 20 × 18 × 16 — alternativa B.
Alternativa por alternativa
- A
10 × 9 × 8
Errada. 10 × 9 × 8 conta apenas os casais, como se cada um tivesse um único representante possível. Mas dentro de cada casal há duas pessoas que podem ocupar o cargo.
- B
20 × 18 × 16
Correta. São 20 pessoas para o primeiro cargo; a cada escolha saem duas da lista (a pessoa escolhida e seu cônjuge), restando 18 e depois 16.
- C
20 × 19 × 18
Errada. 20 × 19 × 18 é a contagem sem a restrição — seria o número de diretorias se marido e mulher pudessem ocupar cargos ao mesmo tempo.
- D
10 × 9 × 8 × 2
Errada. Multiplicar 10 × 9 × 8 por 2 corrige a escolha de apenas um dos cônjuges, mas só uma vez. Seria preciso um fator 2 para cada um dos três cargos.
- E
20 × 18 × 16 × 2
Errada. 20 × 18 × 16 já é a resposta completa. Multiplicar de novo por 2 contaria cada diretoria duas vezes.