Ler o enunciado em texto
O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:
1º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.
No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:
1º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.
A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.
O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.
Considere 0,64 como aproximação para cos 50°°.
A 135° e 7 horas e 15 minutos.
B 45° e 7 horas e 15 minutos.
C 135° e 12 horas.
D 135° e 6 horas.
E 45° e 6 horas.
Gabarito oficial
A
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Geometria vetorial com rumos de bússola: perceber que os segundos trechos são idênticos e usar a lei dos cossenos.
Resolução passo a passo
- Compare as duas rotas. O segundo trecho é igual nos dois casos: direção 90° por 2 horas. Logo, o vetor Q→R é igual ao vetor S→T.
- Disso segue uma igualdade vetorial útil: se R = Q + v e T = S + v, então R − T = Q − S. Ir de T até R é o mesmo que ir de S até Q.
- Calcule o ângulo entre os dois primeiros trechos. Eles saem do mesmo ponto P nas direções 340° e 110°: a diferença é 230°, e o ângulo interno do triângulo é 360° − 230° = 130°.
- Aplique a lei dos cossenos no triângulo PSQ, com PS = PQ = 4 h de navegação: SQ² = 4² + 4² − 2·4·4·cos 130°. Como cos 130° = −cos 50° = −0,64, vem SQ² = 32(1 + 0,64) = 52,48 e SQ ≈ 7,25 — ou seja, 7 horas e 15 minutos. A direção, obtida pelas componentes (leste positiva e norte negativa, em módulos iguais), é 135°. Alternativa A.
Alternativa por alternativa
- A
135° e 7 horas e 15 minutos.
Correta. O deslocamento T→R equivale ao deslocamento S→Q, cuja direção é 135° (sudeste) e cujo comprimento corresponde a aproximadamente 7,25 horas de navegação, isto é, 7 horas e 15 minutos.
- B
45° e 7 horas e 15 minutos.
Errada. O tempo está certo, mas 45° aponta para nordeste — o sentido oposto ao necessário. O ponto R está a sudeste de T, porque o erro levou a embarcação para o norte.
- C
135° e 12 horas.
Errada. A direção está correta, mas 12 horas seria a soma dos dois trechos originais (4 + 2) somada a mais 6, sem qualquer relação com a distância real entre T e R.
- D
135° e 6 horas.
Errada. 6 horas corresponderia a percorrer a mesma distância dos dois trechos iniciais. A lei dos cossenos mostra que a distância TR é maior: cerca de 7,25 horas de navegação.
- E
45° e 6 horas.
Errada. Erra nos dois valores: 45° aponta para o quadrante oposto e 6 horas subestima a distância obtida pela lei dos cossenos.