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A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.
As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações. Quantos vértices tem esse poliedro?
A 21
B 25
C 55
D 80
E 110
Gabarito oficial
B
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Geometria espacial: contar faces na planificação, obter as arestas pela soma dos lados e aplicar a relação de Euler.
Resolução passo a passo
- Conte as faces na planificação, por tipo e por cor: 1 decágono (vermelho, no centro), 1 pentágono (verde), 5 quadrados (amarelos) e 25 triângulos (azuis). Ao todo, F = 32.
- Some os lados de todas as faces: 25 × 3 + 5 × 4 + 1 × 5 + 1 × 10 = 75 + 20 + 5 + 10 = 110.
- Cada aresta do poliedro é compartilhada por exatamente duas faces, então esse total conta cada uma duas vezes: A = 110 ÷ 2 = 55 arestas.
- Aplique a relação de Euler V − A + F = 2: V = 2 + A − F = 2 + 55 − 32 = 25 vértices — alternativa B.
Alternativa por alternativa
- A
21
Errada. 21 não sai de nenhuma etapa do cálculo. Provavelmente resulta de contar faces a menos na planificação antes de aplicar Euler.
- B
25
Correta. Com 32 faces e 55 arestas, a relação de Euler dá V = 2 + 55 − 32 = 25 vértices.
- C
55
Errada. 55 é o número de arestas, e não de vértices. É a armadilha mais provável da questão: parar o cálculo no passo anterior ao pedido.
- D
80
Errada. 80 não corresponde a nenhuma das três grandezas do poliedro — nem vértices, nem arestas, nem faces.
- E
110
Errada. 110 é a soma dos lados de todas as faces, ou seja, o número de arestas contado em dobro. É preciso ainda dividir por 2 e, depois, aplicar Euler.