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Um engenheiro é responsável por acompanhar o processo de controle de produção de uma fábrica de parafusos. Esse processo é considerado sob controle se o comprimento C dos parafusos satisfizer M − 3d ≤ C ≤ M + 3d, sendo M a média dos comprimentos e d o desvio padrão dos comprimentos dos parafusos. Na última coleta de dados em que o processo foi considerado sob controle, foram obtidos M = 5,0 cm e d = 1,2 cm.
Com a chegada de uma nova máquina, a variabilidade dos comprimentos dos parafusos foi reduzida, e o processo foi considerado sob controle. A média dos comprimentos dos parafusos produzidos por essa nova máquina foi 5,6 cm, e nenhum desses parafusos teve comprimento menor que a medida mínima, nem maior que a medida máxima dos parafusos produzidos pela máquina anterior. O desvio padrão, em centímetro, para o novo intervalo deverá ser, no máximo,
A 0,60.
B 1,00.
C 1,12.
D 1,2.
E 1,80.
Gabarito oficial
B
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Estatística: intervalo de controle de três desvios padrão e inequações com restrição dupla.
Resolução passo a passo
- Calcule os limites antigos, que passam a valer como fronteira máxima. Limite inferior: 5,0 − 3 · 1,2 = 5,0 − 3,6 = 1,4 cm. Limite superior: 5,0 + 3,6 = 8,6 cm.
- Escreva o novo intervalo com a média de 5,6 cm e o desvio d a descobrir: de 5,6 − 3d a 5,6 + 3d.
- Imponha que ele caiba dentro do antigo. Pelo lado de baixo: 5,6 − 3d ≥ 1,4, o que dá 3d ≤ 4,2 e d ≤ 1,4.
- Pelo lado de cima: 5,6 + 3d ≤ 8,6, o que dá 3d ≤ 3,0 e d ≤ 1,0.
- As duas condições precisam valer ao mesmo tempo, então prevalece a mais restritiva: o desvio padrão pode ser, no máximo, 1,00 cm — alternativa B. Foi o lado superior que limitou, porque a média subiu e ficou mais perto do teto de 8,6 cm.
Alternativa por alternativa
- A
0,60.
Errada. 0,60 cm cabe no intervalo, mas não é o maior valor possível: com 1,00 cm o novo intervalo ainda fica inteiramente dentro do antigo.
- B
1,00.
Correta. O intervalo antigo vai de 1,4 cm a 8,6 cm. Com média 5,6 cm, o teto exige 5,6 + 3d ≤ 8,6, ou seja, d ≤ 1,0 — condição mais restritiva que a do piso (d ≤ 1,4).
- C
1,12.
Errada. 1,12 cm ultrapassaria o limite superior: 5,6 + 3 · 1,12 = 8,96 cm, acima dos 8,6 cm permitidos.
- D
1,2.
Errada. 1,2 cm é o desvio da máquina antiga. O enunciado diz que a variabilidade foi reduzida, então o novo desvio tem de ser menor.
- E
1,80.
Errada. 1,80 cm levaria o intervalo a 5,6 ± 5,4, isto é, de 0,2 cm a 11,0 cm — muito além dos limites antigos, e ainda maior que a variabilidade original.