Ler o enunciado em texto
Uma pessoa necessita armazenar uma quantidade V de líquido e possui um recipiente no formato de cilindro circular reto, com raio da base medindo r, o qual comporta apenas 4/9 dessa quantidade. Essa pessoa comprou, então, um novo recipiente no mesmo formato, com raio da base medindo R, mantendo a mesma medida da área lateral do primeiro recipiente, e que comporta exatamente a quantidade V de líquido. A razão R/r entre os raios dos dois recipientes é
A 4/9
B 5/9
C 5/4
D 3/2
E 9/4
Gabarito oficial
E
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Geometria espacial: volume e área lateral do cilindro, com razão entre grandezas.
Resolução passo a passo
- Escreva as duas fórmulas do cilindro. Volume: Vcil = π · raio² · altura. Área lateral: Alat = 2 · π · raio · altura.
- Chame de h a altura do primeiro e de H a do segundo. A condição de mesma área lateral dá 2πrh = 2πRH, ou seja, r · h = R · H.
- Aqui está o truque: no volume do segundo recipiente, πR²H, substitua R · H por r · h. Fica πR²H = πR · (R · H) = πR · (r · h) = π · R · r · h. Esse é o volume V.
- O volume do primeiro é πr²h = (4/9) · V. Divida um pelo outro: V / [(4/9)V] = (π R r h) / (π r² h). Do lado esquerdo sobra 9/4; do direito, R/r.
- Portanto R/r = 9/4 — alternativa E. Faz sentido: o novo recipiente é mais largo e mais baixo, mantendo a mesma "casca" lateral, e cilindros mais largos e baixos guardam mais líquido.
Alternativa por alternativa
- A
4/9
Errada. 4/9 é a fração de volume que o primeiro recipiente comporta, não a razão entre os raios. A razão é o inverso dela, porque o volume acaba sendo proporcional ao raio.
- B
5/9
Errada. 5/9 não decorre de nenhuma das relações: nem da área lateral igual, nem da razão entre os volumes.
- C
5/4
Errada. 5/4 parece próximo, mas viria de subtrair 4 de 9 em algum passo. A divisão correta dos volumes dá 9/4 direto.
- D
3/2
Errada. 3/2 é a raiz quadrada de 9/4. Seria a resposta se o volume dependesse do quadrado do raio — mas, com a área lateral fixa, a altura se ajusta e o volume fica proporcional ao raio, sem quadrado.
- E
9/4
Correta. Da área lateral igual vem rh = RH; logo o volume do segundo é πR²H = πRrh = V, e o do primeiro é πr²h = (4/9)V. Dividindo, R/r = 9/4.