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A figura representa uma bola de basquete dentro de uma caixa no formato de paralelepípedo reto de base quadrada, cuja altura mede 27 cm. A bola, quando cheia, tem o formato de uma esfera de 30 cm de diâmetro, que tangencia as faces laterais e a base inferior da caixa, e parte dela fica no exterior da caixa. A tampa tem uma abertura circular que se ajusta perfeitamente à bola. Qual é a medida da área da tampa da caixa, em centímetro quadrado?
A π · 9²
B π · 15²
C 30² − π · 3²
D 30² − π · 9²
E 30² − π · 15²
Gabarito oficial
D
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Geometria espacial: seção de esfera por um plano e área de região plana com recorte circular.
Resolução passo a passo
- Descubra o lado da base. A esfera tem 30 cm de diâmetro e tangencia as faces laterais, então o quadrado da base tem lado 30 cm e a tampa, antes do furo, tem área 30².
- Localize o centro da bola. Ela toca o fundo, e seu raio é 15 cm, logo o centro está a 15 cm de altura.
- Meça a distância do centro ao plano da tampa, que está a 27 cm: d = 27 − 15 = 12 cm.
- Ache o raio do furo. O plano da tampa corta a esfera segundo um círculo cujo raio r satisfaz o teorema de Pitágoras com o raio da esfera: r² + d² = R², ou seja, r² = 15² − 12² = 225 − 144 = 81, logo r = 9 cm.
- Monte a área pedida: a tampa é o quadrado menos o furo circular, isto é, 30² − π · 9² — alternativa D.
Alternativa por alternativa
- A
π · 9²
Errada. π · 9² é a área do furo, não da tampa. A questão pede a parte de material que sobra, portanto é preciso subtraí-la do quadrado.
- B
π · 15²
Errada. π · 15² usaria o raio da esfera como se fosse o do furo. Mas a tampa corta a bola a 12 cm do centro, onde a seção já é bem menor.
- C
30² − π · 3²
Errada. Confunde o cateto com o resultado: 3 não é o raio do furo. De 15² − 12² = 81 sai r = 9, não 3.
- D
30² − π · 9²
Correta. A base é um quadrado de lado 30 cm e o furo é a seção da esfera no plano a 27 cm de altura, de raio √(15² − 12²) = 9 cm. A área da tampa é 30² − π · 9².
- E
30² − π · 15²
Errada. Subtrai um círculo de raio 15 cm, que é o círculo máximo da esfera — a seção que apareceria se a tampa passasse pelo centro da bola, a 15 cm, e não a 27 cm.