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Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância D da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo T, em minuto, de acordo com uma função do tipo
D = k + tg[p(T + m)], sendo os parâmetros k, p e m números reais, para T variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de D.
A D = 2,5 + tg[30(T − (5−2π)/2)]
B D = 4 + tg[30(T + 5/2)]
C D = 4 + tg[2,5(T + (5+2π)/2)]
D D = 30 + tg[(1/2)(T − 5)]
E D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)]
Gabarito oficial
E
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Função tangente: extrair período e deslocamentos a partir das assíntotas e do ponto central do gráfico.
Resolução passo a passo
- Use as assíntotas para achar p. A distância entre duas assíntotas consecutivas da tangente é π/p. Aqui ela vale (5+2π)/2 − (5−2π)/2 = 2π, logo π/p = 2π e p = 1/2.
- Ache o centro do ramo, que fica a meio caminho entre as assíntotas: [(5−2π)/2 + (5+2π)/2] ÷ 2 = 5/2 = 2,5. É ali que a tangente vale zero.
- Determine m: como p(T + m) = 0 em T = 2,5, vem m = −2,5 = −5/2.
- Determine k: no centro, D = k + tg(0) = k. O gráfico mostra D = 30 em T = 2,5, logo k = 30. A expressão é D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)] — alternativa E.
Alternativa por alternativa
- A
D = 2,5 + tg[30(T − (5−2π)/2)]
Errada. Usa k = 2,5 (que é o valor de T no centro, não o de D) e p = 30 (que é o valor de D, não o coeficiente). Os dois parâmetros estão trocados de papel.
- B
D = 4 + tg[30(T + 5/2)]
Errada. k = 4 corresponde ao limite do intervalo de tempo, não à altura no centro. Além disso, p = 30 daria assíntotas separadas por π/30, muito mais próximas do que mostra o gráfico.
- C
D = 4 + tg[2,5(T + (5+2π)/2)]
Errada. Novamente k = 4, e p = 2,5 produziria período π/2,5, incompatível com a distância de 2π observada entre as assíntotas.
- D
D = 30 + tg[(1/2)(T − 5)]
Errada. Acerta k = 30 e p = 1/2, mas erra o deslocamento: com m = −5, o centro do ramo cairia em T = 5, e não em T = 2,5 como mostra o gráfico.
- E
D = 30 + tg[(1/2)(T − 5/2)]
Correta. As assíntotas separadas por 2π dão p = 1/2; o centro em T = 2,5 dá m = −5/2; e a altura 30 nesse ponto dá k = 30.