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Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.
Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura. Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
A y = −3x + 20
B y = −3x + 16
C y = −3x − 20
D y = 3x + 16
E y = 3x − 16
Gabarito oficial
A
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Geometria analítica: reconhecer o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos e obter sua equação.
Resolução passo a passo
- Identifique o lugar geométrico: os pontos equidistantes de V e T formam a mediatriz do segmento TV — a reta perpendicular a TV que passa pelo seu ponto médio.
- Descubra T. No quadrado STUV, os vértices seguem essa ordem, então S e V são vizinhos e SV é um lado. O vetor do lado é SV = (8−6 ; 6−2) = (2 ; 4).
- O outro lado que sai de S é perpendicular a esse e tem o mesmo comprimento: ST = (−4 ; 2). Logo T = (6−4 ; 2+2) = (2 ; 4), o que confere com a figura.
- Agora a mediatriz de TV. O ponto médio de T(2;4) e V(8;6) é (5 ; 5); a inclinação de TV é (6−4)/(8−2) = 1/3, então a da mediatriz é −3. A equação fica y − 5 = −3(x − 5), ou seja, y = −3x + 20 — alternativa A. Note que essa reta passa por S(6;2): −18 + 20 = 2 ✓.
Alternativa por alternativa
- A
y = −3x + 20
Correta. A mediatriz de TV tem inclinação −3 (perpendicular à inclinação 1/3 de TV) e passa pelo ponto médio (5;5), resultando em y = −3x + 20. É a diagonal SU do quadrado, que de fato contém a posição inicial do herói.
- B
y = −3x + 16
Errada. A inclinação está certa, mas o coeficiente linear não. A reta y = −3x + 16 não passa pelo ponto médio de TV: substituindo x = 5, dá y = 1, e não 5.
- C
y = −3x − 20
Errada. y = −3x − 20 fica inteiramente no terceiro e quarto quadrantes na faixa de interesse. Para x = 5, dá y = −35, muito longe do quadrado, que está no primeiro quadrante.
- D
y = 3x + 16
Errada. A inclinação +3 é o oposto do que se precisa. Para ser perpendicular a TV, cuja inclinação é 1/3, o coeficiente angular tem de ser −3 (o produto das inclinações precisa dar −1).
- E
y = 3x − 16
Errada. Mesmo problema de inclinação, e a reta também não passa por S nem pelo ponto médio de TV. Em x = 6, y = 3x − 16 dá y = 2 — coincidência com S, mas a direção está errada e a reta não é equidistante de T e V.