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Uma fábrica utilizou uma impressora 3D para produzir o protótipo de uma peça. O protótipo tem forma de um poliedro convexo, obtido pela justaposição de dois sólidos distintos, um com a forma de um prisma hexagonal regular reto e o outro com a forma de um tronco de pirâmide hexagonal reta. A base maior do tronco de pirâmide coincide com uma das bases do prisma.
Após a impressão do protótipo, ele foi encaminhado ao setor de customização para realização da pintura de sua superfície. O critério definido para realização da pintura considera que faces congruentes entre si devem ser pintadas com uma mesma cor, e faces não congruentes entre si devem apresentar cores distintas. Qual é a quantidade de cores utilizadas para pintar o protótipo?
A 9
B 8
C 6
D 4
E 3
Gabarito oficial
D
Caderno de referência do INEP.
O que a questão cobra
Geometria espacial: enumerar as faces visíveis do sólido composto e agrupá-las por congruência.
Resolução passo a passo
- Liste as faces de cada parte. O prisma hexagonal tem 2 bases hexagonais e 6 faces laterais retangulares, todas congruentes entre si. O tronco de pirâmide hexagonal tem 2 bases hexagonais (uma maior e uma menor) e 6 faces laterais trapezoidais, também congruentes entre si.
- Elimine a face que some: a base maior do tronco coincide com uma base do prisma. Essa superfície fica no interior do sólido e não é pintada.
- Reúna o que sobra: a base hexagonal livre do prisma (1 cor), os 6 retângulos laterais (1 cor), os 6 trapézios laterais (1 cor) e a base hexagonal menor do tronco (1 cor).
- Repare que os dois hexágonos não são congruentes — um é a base do prisma e o outro é menor —, então precisam de cores diferentes. São 4 cores ao todo: alternativa D.
Alternativa por alternativa
- A
9
Errada. 9 cores não corresponde a nenhum agrupamento possível. As faces laterais de cada sólido são congruentes entre si e compartilham cor, o que reduz muito o total.
- B
8
Errada. 8 cores seria o resultado de contar as faces laterais separadamente em algum dos sólidos. Mas prisma regular reto e tronco de pirâmide reta têm todas as faces laterais iguais entre si.
- C
6
Errada. 6 cores pode vir de contar os dois hexágonos e depois somar grupos a mais, ou de incluir a base interna. A face de junção não é pintada por estar dentro do sólido.
- D
4
Correta. Sobram quatro grupos de faces: o hexágono maior (base livre do prisma), os seis retângulos, os seis trapézios e o hexágono menor do topo. Quatro grupos, quatro cores.
- E
3
Errada. 3 cores só seria possível se os dois hexágonos fossem congruentes. Como o tronco tem base menor que a do prisma, eles são diferentes e exigem cores distintas.